Fractales y arquitectura

Los fractales como fuente de creatividad en el diseño arquitectónico

Por Roberto Serrentino

Introducción

Desde la puesta en duda de los patrones clásicos aportados por el modernismo, la arquitectura parece estar abocada a la exploración de una complejidad formal que no termina de resolverse. A partir de “Complejidad y Contradicción en Arquitectura”, [Venturi, 1978], y de otros escritos posmodernos, fueron cuestionados los más firmes postulados de la Arquitectura Moderna y aún de la Arquitectura Clásica, poniendo énfasis en el simbolismo y significación de las formas. Sin embargo, en su afán por diferenciarse de los diseños clásicos, y en su búsqueda de estructuras “novedosas”, gran parte de la Arquitectura diseñada en los últimos años, ha roto con la tendencia tradicional de armonizar las formas arquitectónicas con las leyes naturales. Las corrientes arquitectónicas posmodernistas y las que les sucedieron, han encontrado en la geometría tradicional un gran apego a las formas sintéticas de las figuras geométricamente puras (polígonos, círculos), cuya representación se reduce a un trazo lineal en todas las escalas. De esta manera, la riqueza formal que podrían ofrecer por su correspondencia con formas de la Naturaleza, se reduce a la mínima expresión de complejidad.

Sin embargo, en la actualidad también se están desarrollando nuevos conceptos geométricos de gran valor potencial para la descripción y entendimiento de espacios y masas arquitectónicas, mediante ideas más naturales sobre organización espacial y de formas. Esto no significa la negación de la geometría tradicional, ni su reemplazo por un sistema geométrico fijo que describe todo lo que ocurre en la naturaleza, sino significa una gradual transformación del espacio y de las formas puras y estáticas hacia espacios compuestos y dinámicos. Esta geometría irregular y a menudo fantástica, a la que denominaremos geometría fractal, está incursionando en los campos tradicionales del perfecto orden de Euclides o las formas de Descartes, vinculando, cualificando y hasta cuantificando las formas naturales, permitiendo analizar conceptos transferibles a las formas artificiales, tales como las formas arquitectónicas que construye el hombre.

Pero ¿qué es la geometría fractal? Una primera aproximación para definirla permite afirmar que es una rama de las matemáticas que estudia formas que presentan una cascada interminable de detalles autosemejantes. A medida que se las observa más de cerca, intentando cambiar el nivel de abstracción para encontrar nuevas formas, lo que se encuentra son formas del mismo tipo. Para entenderlo mejor, daremos algunos ejemplos de la Naturaleza. La geometría fractal es directamente visible para un observador que transita por regiones montañosas. A menudo no es posible asegurar si un pico está cerca o lejos, o si un cerro es muy alto o solamente nos causa esa impresión. De lo que sí puede estar seguro el observador es que la forma global de lo cercano es similar a la forma global de lo lejano, que ciertos detalles de lo grande se parecen mucho a los detalles de lo pequeño y que está faltando un patrón de comparación para fijar una escala.

A lo largo y a lo ancho de todo el mundo existen ejemplos de formaciones naturales que podrían ser mencionados como estructuras geométricas fragmentadas y texturadas a diferentes escalas. En las tierras altas de la meseta Anatolia, en Turquía, se halla la antigua región de Capadocia. Cubierta de valles y volcanes apagados, comprende un territorio de panoramas extraños, típicamente fractales, dominados por conos rocosos esculpidos por el viento y el agua. Estas formas surgen de incontables transformaciones que afectaron a la región: se inició con la erupción de los volcanes hace millones de años y el consecuente sedimento de capas de ceniza, lava, y otros elementos geológicos de variada naturaleza. Con el tiempo la ceniza volcánica se convirtió en una roca pálida y blanda (toba), cubierta luego por otras capas de lava dura y oscura (basalto), que al enfriarse y fragmentarse dio lugar a la acción erosiva del clima. Los sismos y las heladas invernales fracturaron las capas de toba y basalto, mientras ríos y arroyos sumados a un impetuoso viento, horadaban el suelo dando lugar a estas curiosas formaciones fractales.

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Conos de Capadocia

En Irlanda del Norte, existe un promontorio conocido como Calzada de los Gigantes, o Escalera del Mar. Es una muestra espectacular de lo que ocurre cuando la lava volcánica se enfría lentamente: decenas de miles de columnas geométricas se conglomeran en forma de panal, como fabulosa escalera que desciende al mar.

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Calzada de los Gigantes

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Calzada de los Gigantes

Sus dimensiones hacen pensar en una obra sobrehumana y vista desde las alturas parece una carretera pavimentada de unos 275 metros bordeando la costa, por aproximadamente 150 metros de ancho sobre el océano Atlántico. Muchas de las columnas alcanzan entre los 6 y los 12 metros de altura. Su composición es asombrosa, todas ellas de forma poligonal, la mayor parte de las veces hexagonal. No solamente forman una composición fractal en tres dimensiones por la variedad de escalas que presentan, conservando autosemejanza, sino que además no dejan intersticios entre ellas simulando una teselación tridimensional.

Otro impactante paisaje fractal es el que ofrecen los glaciares antárticos, muchos de ellos con formas de enormes barreras. Aunque el descubrimiento del calentamiento del planeta ha permitido verificar que los glaciares tienden a derretirse, periódicamente el hielo glacial continúa empujando y sumando masa a estos enormes tamaños. La nieve se compacta en hielo por el peso de nuevas tormentas y el congelamiento del agua incrementa el grosor de la capa desde la parte inferior. Como esta presión es muy grande, el glaciar no tiene la capacidad de resistirla y por lo tanto sigue avanzando hacia el mar. Desde el borde de la gran masa se desprenden icebergs, con aristas duras que le otorgan carácter fragmentado a diferentes escalas.

La compleja interacción entre océano y atmósfera es estudiada a través de estos desprendimientos arrastrados por las corrientes oceánicas.

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Glaciar

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Iceberg

También podemos considerar como ejemplo fractal la observación de una hoja de árbol de cierta especie, donde sus nervaduras configuran una estructura que se repite a diferentes escalas, con las mismas características que las ramas de ese árbol se van reproduciendo desde el tronco hacia la copa. Más aún, si observamos todo un bosque de árboles de esta misma especie podremos verificar que su perfil es del mismo tipo que el perfil de una sola hoja de esa especie.

Una situación parecida se presenta al observar una línea costera desde un avión. El trazado general de su forma es muy similar tanto a diez mil metros de altura como al observarla desde pocos metros de distancia caminando por la playa, o aún si acercamos una lupa a la línea divisoria entre la arena húmeda y la arena seca. Ahora nos preguntamos ¿qué largo tiene esta línea costera desde un punto A hasta un punto B? A primera vista esta cuestión parece trivial puesto que con un mapa en la mano y un instrumento de medida (una sencilla regla graduada en centímetros), rápidamente podríamos arribar a un valor de longitud. El problema es que si repetimos la operación con el mismo instrumento sobre otro mapa de la misma línea costera pero a escala mucho mayor, tendríamos un nivel de precisión muy diferente y, por lo tanto, una longitud muy diferente. Y si nos llegamos hasta la costa y la medimos directamente obtendremos otro resultado, seguramente de mayor precisión. De lo que estamos diciendo se deduce que a medida que el instrumento de medición decrece con respecto al objeto medido, la longitud que se obtiene como resultado crece sin límites. Por lo tanto, si la escala de medición fuera infinitamente pequeña, entonces la longitud obtenida sería infinitamente grande.

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(a) Dimensión Barra = 28, Cantidad barras = 2
(b) Dimensión Barra = 14, Cantidad barras = 4

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(c) Dimensión Barra = 7, Cantidad barras = 8
(d) Dimensión Barra = 4, Cantidad barras = 20

Si la escala puede ser representada en términos de un instrumento de medición lineal no graduado pero de una longitud conocida, Figura 4 a, b, c y d, mientras más precisión se desee, más corto debe ser el instrumento de medición. Por supuesto que nadie confecciona un mapa acomodando “palitos rectos” sobre el suelo, pero esta analogía refleja la clase de distorsiones que inevitablemente se producen a partir de la resolución limitada de las fotografías aéreas, o por los errores relativos de los relevamientos topográficos, o simplemente por el espesor de la pluma utilizada para el dibujo del mapa.

Los ejemplos mencionados (montañas, árboles, líneas costeras) son formas fractales, y en todos ellos encontramos una progresión de autosimilitud que nos lleva a la siguiente afirmación: un fractal es un objeto o cantidad que presenta autosemejanza en todas las escalas.

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(a) observación microscópica de un virus, (b) picos montañosos nevados, (c) organismos marinos bajo iluminación artificial

 Como se ha visto del análisis de la línea costera, la posibilidad de estudiar con la geometría tradicional, éstas y otras formas naturales tales como las nubes, el torrente caudaloso de un río crecido, patrones de sistemas ondulatorios o impulsos nerviosos de un ser humano, resulta inapropiado. Los postulados y formas sintéticas provistas por la geometría euclidiana, por ejemplo una curva regular como un círculo o una elipse, son casos extremadamente particulares en comparación con la realidad, y por lo tanto poco útiles para el estudio de fenómenos naturales. “Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las líneas costeras no son arcos de circulo” [Mandelbrot, 1977].

El término fractal fue inventado por el matemático Benoît Mandelbrot hacia 1977 y proviene del verbo latino frangere que significa “romper”, y de su adjetivo fractus. El vocablo pretende sugerir el carácter roto, fragmentado de los objetos fractales, así como los números fraccionarios que proporcionan un grado fractal de aspereza y fragosidad. Existen varias definiciones técnicas conflictivas de la palabra fractal, pero todas ellas son intentos de formalizar un concepto intuitivo que en realidad es más fácil entender que expresar. Un fractal es una forma o figura infinitamente detallada: si una pequeña porción es ampliada, su forma es muy similar a la forma total. Esto significa que las partes del fractal se parecen a la estructura completa, semejanza que puede ser exacta o aproximada, propiedad que se denomina autoexactitud en el primer caso y autosemejanza o autosimilitud en el segundo. Pero en general, la figura de una curva fractal se repite a sí misma en escalas cada vez más pequeñas que contienen infinitas copias semejantes (no exactas) a su propia imagen y los sucesivos niveles de análisis sólo mantienen las mismas características genéricas.

Otra propiedad que caracteriza a los fractales es la iteración, es decir, la repetición infinita del mismo proceso. Dibujando iterativamente un ejemplo fractal en una simple hoja de papel, si se continúa indefinidamente con el mismo procedimiento generativo, se obtiene una cantidad incontable de segmentos, infinitamente pequeños. Algo imposible de realizar en la práctica, pero ciertamente posible en la imaginación. La idea que subyace detrás de los fractales es la posibilidad de obtener una estructura muy compleja mediante la iteración de una fórmula sencilla.

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(a) simulación de una flor fractalizada geométricamente, (b) simulación de un fractal natural: una hoja de helecho, (c) simulación de copos de nieve sobre una rama

 La curva de Koch es un ejemplo fractal creado de manera recursiva, que se mapea a sí mismo una y otra vez en escalas cada vez más pequeñas, desplegando una cascada de estructuras autosemejantes. Tal vez la curva de Koch sea uno de los ejemplos más didácticos de construcción de un fractal: se crea mediante la división de un segmento de línea recta en tres partes iguales y luego reemplazando la porción del medio por dos porciones idénticas que se juntan para formar un triángulo equilátero sin base. De esta manera se produce un generador del fractal que al ser escalado mediante un factor de 1/3 y usado recursivamente para reemplazar cada segmento de línea recta de la fase anterior, se obtiene un procedimiento que puede ser continuado hasta el infinito.

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Curva ideada por Helge Von Koch

El objeto así obtenido, en el límite, tiene longitud infinita pero, por otra parte, como no encierra región alguna, su área en el plano es de valor cero. En otras palabras, ni su longitud ni su área arrojan una descripción apropiada de esta curva.

Otro concepto muy importante es el de dimensión fractal. Explicado en sentido genérico, es el número que sirve para cuantificar el grado de irregularidad y fragmentación de un conjunto geométrico o de un objeto natural. La dimensión fractal no es necesariamente entera, y podríamos decir que cuantifica la mezcla de orden y sorpresa en una composición rítmica. Al contrario de las dimensiones habituales, la dimensión fractal puede ser una fracción simple como 1/2 ó 5/3, incluso un número irracional como log4/log3 ~ 1.2618. De este modo resulta útil decir que para ciertas curvas planas muy irregulares la dimensión fractal está entre 1 y 2, o decir que para ciertas superficies muy hojaldradas la dimensión fractal se encuentra entre 2 y 3. La dimensión fractal cuantifica la cascada de detalles. Tanto la curva de Koch como una línea costera natural, con su progresión en detalles autosemejantes, son más que líneas de una sola dimensión y menos que superficies de dos dimensiones. Ellas tienen una dimensión fractal que es mayor que 1 y menor que 2. La curva de Koch tiene una dimensión de 1.26. Muchas formas naturales, como las líneas costeras, tienen dimensiones fractales que son similares a la de la curva de Koch.

La geometría fractal ha obtenido bastante importancia desde el trabajo de Benoît Mandelbrot, aunque al principio, el mundo científico tenía cierto escepticismo acerca de la manera de observar la naturaleza a partir de estas teorías. Sin embargo, pronto se descubrió que la geometría fractal y los múltiples sistemas dinámicos que hay en la naturaleza, desde una suave brisa hasta el movimiento de una galaxia, tienen mucho en común. Todo lo natural que nos rodea es tan irregular que los modelos de emulación continuos y homogéneos son irreales y pueden ser útiles solamente como una primera aproximación. Existen muchas situaciones en que los hechos y las cosas parecen producirse sin razón aparente y tampoco hay ninguna advertencia de que se va a producir algo en particular (por ejemplo, un terremoto de inesperada magnitud y destrucción, o una especie que no ha cambiado durante millones de años experimenta súbitamente una mutación). Esta mezcla de orden y sorpresa que subyacen en este tipo de acontecimientos, tienen en común su complejidad. Son sistemas gobernados por muchos y diversos factores delicadamente equilibrados, oscilando entre la estabilidad y el caos. Los factores que actúan en esta clase de sistemas cambian y crecen constantemente y por lo tanto se encuentran siempre en un estado de caos potencial, aunque exista un orden aparente. Una parte esencial de cualquier sistema complejo es su dinámica espontánea de auto-organización, es decir, el medio por el que el sistema recupera el equilibrio adaptándose a circunstancias cambiantes. Son varias disciplinas las que interactúan en el estudio de estos sistemas dinámicos complejos, regidos por ideas matemáticas tales como la teoría del caos, los fractales, la inteligencia artificial, la lógica difusa y tantas otras. El objetivo científico consiste en crear un marco de referencia acerca de los fenómenos complejos que pueden ejercer influencia sobre aspectos importantes de nuestro mundo. Aunque en otro contexto, tal marco de referencia puede ser de gran utilidad en Arquitectura, Diseño, y en las Artes en general, en su afán de armonizar las formas con las leyes de la Naturaleza. Los críticos musicales acostumbran decir que buena música es aquella que ofrece una mezcla de orden y sorpresa… y la sorpresa no sería sorpresa si no existiera un ritmo suficientemente ordenado como para anticipar lo que vendrá a continuación. Lo mismo ocurre con la Arquitectura y el Diseño, disciplinas que controlan el ritmo de las formas.

Referencias bibliográficas

Mandelbrot, Benoît, The Fractal Geometry of Nature. New York: W. H. Freeman, 1977

Venturi, Robert “Complejidad y Contradicción en Arquitectura”, Ed. G. Gili, 1978

El texto pertenece al libro Contribuciones a los sistemas de diseño, 20 años del Laboratorio de Sistemas de Diseño, Editor: Leonardo Combes, Ediciones Magna, Tucumán, 2003.

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Esta entrada fue publicada el agosto 6, 2013 a las 6:42 am. Se guardó como Escrito y etiquetado como . Añadir a marcadores el enlace permanente. Sigue todos los comentarios aquí gracias a la fuente RSS para esta entrada.

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