Fractales y arquitectura

Clasificación en tipos fractales [2da parte]

Por Roberto Serrentino

Estas conclusiones sobre el modo de clasificar los fractales, que depende del procedimiento empleado para su producción o representación, nos conduce a otra clasificación. Según Javier Barallo, básicamente podemos clasificarlos en 6 grupos [Barallo, 2001]:

1.- Derivados de la geometría estándar

2.- IFS (sistemas de funciones iterativas)

3.- Atractores extraños

4.- Fractales plasma

5.- L-systems (sistemas de Lindenmayer)

6.- Por iteración de polinomios complejos

Muchos conjuntos fractales pueden ser considerados subgrupos de estos 6 tipos. A continuación se explica sintéticamente las características principales de los mismos, y en los casos en que convenga reforzar conceptualmente sus propiedades, entraremos un poco más en detalles sobre su generación y comportamiento.

Fractales derivados de la geometría estándar

Los fractales regulares, derivados de la geometría tradicional, se construyen a partir de un polígono o de otra figura, agregando repetidamente copias de él mismo reducidas en tamaño, de acuerdo a un conjunto de transformaciones geométricas previamente seleccionadas.

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Fig. 1. Simulación de un par de pulmones u otra

El ejemplo estereotipado de esta clase de fractal es un árbol, donde cada nivel de ramificaciones es una copia transformada del tronco.

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Fig. 2. Secuencia de crecimiento de un árbol

Son muchos los casos conocidos de transformaciones iterativas que se dan como ejemplos en la literatura sobre fractales. Entre ellos mencionemos:

(a) sobre una línea, el polvo de Cantor y la curva de VonKoch

(b) sobre una superficie, el triángulo de Sierpinski y la alfombra de Sierpinski

(c) en un volumen, la esponja de Menger

Probablemente el conjunto de Cantor sea el fractal documentado más antiguo porque se disponen datos del mismo desde 1872. Para generarlo se procede como sigue: se toma un segmento de tamaño unidad So = [0,1] tal como se ve en el paso n = 1 de la figura 6.

Se divide el segmento en tres subsegmentos de tamaño 1/3 cada uno, se borra la porción central y se dejan los intervalos cerrados restantes:

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Fig. 3

De esta manera se obtiene el resultado del paso n = 2 de la figura 6. Se vuelve a dividir en tres partes cada uno de estos segmentos y nuevamente se borra el segmento central de cada uno. Así se obtienen los cuatro intervalos siguientes:

Fig. 4

Fig. 4

cada uno de longitud 1/9 ( n=3 ) en la figura 6.

Observemos la secuencia de longitudes: comenzamos con un segmento So de longitud 1 y tras la división pasamos a tener 2 segmentos S11 y S12, de longitud 1/3 cada uno. En la operación número 2 teníamos 4 = 22 segmentos (S21, …, S24) de longitud 1/9 = 1/32 cada uno. Si repetimos el proceso de dividir en tres segmentos iguales y borrar el central, en el paso n-ésimo tendremos 2n intervalos cerrados o segmentos (Sn1, Sn2, …. Sn2 n) cada uno de ellos de longitud 1/3n. En sucesivas iteraciones se obtendría las siguientes longitudes de segmentos, en función de la cantidad de segmentos:

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Fig. 5.

Al efectuar una cantidad grande de pasos (que tienda a infinito) se obtiene el subconjunto de los números reales que denominamos conjunto de Cantor o Polvo de Cantor, al que por brevedad denominaremos C. Para saber cuál es la longitud final de los segmentos eliminados sucesivamente:

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Es decir, cuando n tiende , teóricamente se llega a la eliminación total del segmento unitario. Sin embargo, hay que tener en cuenta que cuando borramos el intervalo (1/3, 2/3), los puntos 1/3 y 2/3 , extremos del intervalo borrado, no se pierden. Por lo tanto, los extremos de los intervalos nunca son eliminados, de modo que C no está vacío: los puntos 0, 1, 1/3, 2/3, 1/9, 2/9,… pertenecen al mismo, y constituyen el denominado polvo de Cantor.

La figura 6 a la derecha muestra una representación gráfica de la función de Cantor, a la que suele denominarse “escalera del diablo”, pues posee un número infinito de escalones: cada escalón corresponde a un intervalo eliminado en el proceso iterativo de construcción del conjunto de Cantor. Este conjunto exhibe de forma evidente una de las propiedades más importantes de los fractales: la autosimilitud. Tomando el intervalo [0,1/3] y ampliándolo tres veces se obtiene nuevamente el segmento unitario original. Si se toma el intervalo [0,1/9] y se lo amplía nueve veces se obtiene también el conjunto de Cantor. Es decir, desde cualquier nivel se puede retornar al original, de modo que todos los pequeños segmentos, por minúsculos que sean, contienen la información de todo el conjunto.

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Fig. 6. Conjunto de Cantor

Otro ejemplo relevante es el triángulo de Sierpinski. Partiendo de la figura de un triángulo equilátero de lado unidad, a la que consideraremos iteración n = 0, dividimos esta área en cuatro triángulos equiláteros más pequeños, usando los puntos medios de los tres lados del triángulo original como los nuevos vértices (iteración n = 1), obteniéndose al centro de la configuración un triángulo equilátero invertido de lado igual a ½, que debe ser removido. Para la iteración n = 2, se repite el proceso con cada uno de los triángulos de lado ½ que han quedado, borrando los tres triángulos equiláteros invertidos de lado ¼. Repitiendo infinitamente el proceso se obtiene una figura fractal denominada triángulo de Sierpinski.

El mismo proceso puede ser aplicado a un cuadrado de lado unitario como el de la figura 7 y el conjunto final estará conformado nuevamente por una cantidad no numerable de puntos. Se propone al lector que, a modo de ejercicio, calcule el número de cuadrados en negro, la longitud de sus lados, el área total en cada iteración y determine cuál es el área final del conjunto resultante.

Fig. 7. Cuadrado de Cantor

Fig. 7. Cuadrado de Cantor

Fig. 8. Cinco iteraciones del Triángulo de Sierpinski

Fig. 8. Cinco iteraciones del Triángulo de Sierpinski

En cada iteración el triángulo de Sierpinski se puede descomponer en tres figuras congruentes. En general, es posible dividir el triángulo en 3n piezas autosemejantes que aumentadas en un factor 2n devuelven la figura inicial. Como se ha dicho, este tipo de autosemejanza en todas las escalas es el sello identificativo de un fractal.

También es posible realizar construcciones semejantes al triángulo de Sierpinski en 3 dimensiones, utilizando tetraedros, como se ve en la figura 9.

Fig. 9. Cuatro iteraciones del Tetraedro de Sierpinski

Fig. 9. Cuatro iteraciones del Tetraedro de Sierpinski

Con un procedimiento similar al que vimos en el Conjunto de Cantor y su aplicación a una figura cuadrada (en ese caso se eliminaban 5 módulos de un total de nueve en la primera iteración), veremos cómo se forma la denominada alfombra de Sierpinski.

Fig. 10. Cuatro iteraciones de la Alfombra de Sierpinski

Fig. 10. Cuatro iteraciones de la Alfombra de Sierpinski

El proceso de elaboración de la alfombra de Sierpinski es muy similar a su triángulo. Se divide un cuadrado de lado inicial igual a la unidad, en nueve cuadrados idénticos y luego se borra el cuadrado central. Repitiendo el proceso en cada iteración, puede comprobarse que en la n-ésima ejecución de este proceso recursivo, persisten N cuadrados tal que Nn = 8 elevado a n, cada uno con un lado de longitud:

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Fig. 11

Así que en el límite tendiendo a infinito, la alfombra de Sierpinski está tan agujereada que su superficie es nula. Pero lo más sorprendente es que su perímetro es infinito.

Fig. 12. Cuatro iteraciones de la Esponja de Menger

Fig. 12. Cuatro iteraciones de la Esponja de Menger

Los fractales clásicos provenientes de figuras derivadas de la geometría estándar no se restringen a las dos dimensiones. Si partimos de un cubo en tres dimensiones y aplicamos un procedimiento semejante al de la alfombra de Sierpinski, obtendremos un volumen muy agujereado que parece una esponja. El descubridor de este interesante caso de la geometría fractal fue Karl Menger (1902-1985), a quien en lugar de eliminar pequeños cuadrados como en la alfombra de Sierpinski, se le ocurrió eliminar pequeños cubos.

Obviamente, en el límite cuando el procedimiento tiende a infinito, la esponja tiene volumen nulo y superficie infinita. Otro caso sorprendente, de una forma geométrica compuesta por fragmentos en una infinita variedad de tamaños tales que cada uno de ellos es una copia reducida del total.

Fractales IFS (Sistemas de Funciones Iteradas)

Este es el tipo de fractal introducido por M. Barnsley. Matemáticamente se describen mediante un conjunto de funciones lineales sometidas en cada uno de sus puntos a transformaciones por simetría del tipo rotacional y traslacional, mediante aproximaciones sucesivas. Si bien las funciones son introducidas aleatoriamente en el sistema, para obtener una estructura fractal concreta es necesario fijar la función y sus valores.

Fig. 13. Fractales IFS (Iterated Function System) que simulan plantas.

Fig. 13. Fractales IFS (Iterated Function System) que simulan plantas.

Los ejemplos más conocidos, por la generación de imágenes ultrarrealistas, son las simulaciones de helechos y hojas, y otras formas infinitamente detalladas. En el caso de un árbol es posible imaginar la IFS como el “follaje” de ramas infinitamente pequeñas. Existen procedimientos matemáticos conocidos como “algoritmos de iteración aleatoria” que acortan el camino para representar el mapeo de pixeles a partir del follaje fractal muy detallado, sin tener que pasar por ninguna de las aproximaciones sucesivas, esto es, la generación iterativa de varios niveles de “ramas” usando geometría tradicional.

Fig. 14. Formas en espiral generadas mediante un IFS

Fig. 14. Formas en espiral generadas mediante un IFS

Fig. 15. Simulación de formas de estrellas generadas mediante un IFS

Fig. 15. Simulación de formas de estrellas generadas mediante un IFS

Atractores extraños

Estos conjuntos pueden ser considerados como la representación de un sistema dinámico en movimiento caótico, esto significa que ni el lugar de su recorrido ni el tiempo en que lo recorre nunca son idénticos. Estos atractores tienen apariencia muy compleja, y están compuestos por una línea de longitud infinita formando bucles entrelazados que no se cruzan en su propia trayectoria.

Fig. 16. Atractores extraños: a la izquierda, dos ejemplos del fractal Hopalong y a la derecha dos ejemplos del tipo Fractal Dreams

Fig. 16. Atractores extraños: a la izquierda, dos ejemplos del fractal Hopalong y a la derecha dos ejemplos del tipo Fractal Dreams

Se forman por la repetida ejecución de ciertos cálculos y al listar los resultados numéricos, se caracterizan por parecer valores totalmente azarosos. Sin embargo, al graficar estos resultados en un plano bidimensional, muestran complejas estructuras muy coherentes con respecto a su regla generativa. Para crear un atractor extraño mediante software generalmente se comienza introduciendo un punto que pertenece al campo de la pantalla, y luego se ingresan los valores de ese punto en una ecuación. El resultado de la ecuación se convierte en el nuevo punto que se grafica, y luego es usado nuevamente en la ecuación.

Fractales plasma

Creados con técnicas del tipo “movimiento Browniano” o mediante el “algoritmo de desplazamiento del punto medio”, estos tipos fractales producen hermosas texturas con estructura fractal, como piedra, madera, nubes, fuego y muchas otras. La gran mayoría de sistemas CAD utilizan estas técnicas para la producción de texturas de su librería de materiales. En la generación de estos fractales se utilizan técnicas de representación que simplifican el proceso, por ejemplo tomando 4 pixeles (uno en cada rincón de la pantalla) cada uno de ellos con un valor de color obtenido aleatoriamente, y luego se subdividen las líneas que unen estos pixeles y se interpolan los valores de coloración. Algunos algoritmos de fractales plasma les agregan realismo al resultado haciendo intervenir otros parámetros como la rugosidad o fragosidad, tal que al variar estos valores, el resultado es más compacto o más fragmentado. Este tipo de fractales plasma también permiten crear interesantes paisajes de terrenos naturales, al ser extruídos como imágenes en tres dimensiones.

Fig. 17. Fractales plasma con efecto tridimensional

Fig. 17. Fractales plasma con efecto tridimensional

Sistemas de Lindenmayer

Conocidos abreviadamente como Sistemas L, en realidad no fueron creados para generar figuras fractales, sino para realizar estudios biológicos de crecimiento celular y sus interacciones. Por ejemplo, fueron usados para simular la formación de cristales en soluciones supersaturadas, o para investigar el crecimiento de los corales, en “Fractal modelling: growth and form in Biology” [Kaandrop, 1994]. En síntesis, es una gramática formal que aplica recursivamente sus reglas a un conjunto inicial, con el propósito de observar ciertos comportamientos en organismos naturales, algunos de los cuales resultan ser estructuras fractales.

Considerando que las estructuras fractales de la Naturaleza son el resultado de algún proceso de crecimiento, y que las etapas intermedias de producción de un fractal corresponden a crecimientos parciales, veremos que hay situaciones en las que es más conveniente utilizar un Sistema-L que un sistema IFS. La figura siguiente muestra las tres primeras etapas de iteración de un IFS, cuyo resultado parcial (atractor), será un arbusto. Como puede observarse en la figura de la izquierda, dependiendo de la cantidad de etapas o iteraciones, aparecen lagunas o espacios en blanco, que determinan un modelo de crecimiento que presenta deficiencias. Modificando el algoritmo de la función iterativa de manera tal que recorra una órbita que no deje librado al azar la probabilidad de lagunas, se observa que el tallo principal disminuye de tamaño en cada etapa, de acuerdo con la razón de contracción del sistema. Con las sucesivas ramas sucede lo mismo, de donde se infiere nuevamente que el modelo de crecimiento sigue siendo deficiente. Si usamos un sistema de Lindenmayer, no se presentan los problemas referidos. Al cabo de tres etapas se observa una forma más acorde con un modelo natural de crecimiento.

Fig. 18. (a) y (b) simulaciones incorrectas de crecimiento de un árbol, (c) simulación correcta de crecimiento de un árbol

Fig. 18. (a) y (b) simulaciones incorrectas de crecimiento de un árbol, (c) simulación correcta de crecimiento de un árbol

Hacia 1968 Aristid Lindenmayer propuso la teoría de los Sistemas-L introducida en el contexto de los lenguajes formales y fue utilizada en modelos biológicos para el desarrollo de plantas. La figura 30 muestra un ejemplo desarrollado con el software Fractint, que últimamente se ha popularizado mucho y es muy fácil de usar.

Fig. 19. Imagenes tipo Plants de Fractint

Fig. 19. Imagenes tipo Plants de Fractint

El concepto principal de los Sistemas-L es el de reescritura: se emplea una técnica para definir objetos complejos a partir de un objeto inicial simple, haciendo uso de reglas de reescritura, reemplazando sucesivamente sus partes, por otras cambiadas de escala. En principio es la misma idea de generación de fractales derivados de la geometría estándar, pero un Sistema-L está formalmente constituido por un alfabeto, un axioma, unas reglas de reescritura y un conjunto de parámetros. El alfabeto consiste en un conjunto de símbolos que sirven para componer cadenas. El axioma es una cadena que describe el sistema en su estado inicial. Las reglas de reescritura son las transformaciones que serán aplicadas al axioma. Las reglas de reescritura se aplican simultáneamente a todos los símbolos de la cadena de entrada, propiedad que refleja el origen biológico de los Sistemas-L.

Fractales creados por iteración de polinomios complejos

Tomando como base experimentos matemáticos, se obtienen representaciones fractales bastante sofisticadas a partir de fórmulas relativamente sencillas. Los fractales más famosos, como el conjunto de Mandelbrot, el conjunto de Julia y otros, pertenecen a esta clase. Muy apropiados para experimentar con los llamados algoritmos de coloración, de gran interés artístico y compositivo. Basada en esta técnica de iteración mediante fórmulas, existe una modalidad de producción de fractales que se ha dado en llamar Arte Genético, donde se trabaja superponiendo capas con diferentes representaciones fractales, a partir de la resolución de diferentes fórmulas relativamente sencillas, obteniéndose imágenes sorprendentes.

Por ejemplo, las imágenes están basadas en una secuencia aleatoria de caracteres, que van desde A hasta Z y también desde a hasta z. Cada uno de estos 52 caracteres representa una fórmula única, tales que al colocarlos en series de caracteres, crean una regla o secuencia generativa. Al generar una imagen, el valor del color de cada píxel se calcula comenzando con valor 1 y se va actualizando dependiendo de la secuencia de letras que definen la regla. La figura 31 muestra un ejemplo.

Fig. 20. En la fila de arriba de izquierda a derecha, tres generaciones fractales A, B, C. En la fila de abajo, de izquierda a derecha, tres combinaciones AB, AC y BC.

Fig. 20. En la fila de arriba de izquierda a derecha, tres generaciones fractales A, B, C. En la fila de abajo, de izquierda a derecha, tres combinaciones AB, AC y BC.

Referencias bibliográficas

Barrallo, Javier and Sánchez, Santiago, (2001) Fractal Types and Coloring Algorithms. In Mathematics and Design 2001, Mark Burry; Australia, Deakin University

Kaandrop, J. (1994) Fractal modelling: growth and form in Biology, Berlin, Springer Verlag.

El texto pertenece al libro Contribuciones a los sistemas de diseño, 20 años del Laboratorio de Sistemas de Diseño, Editor: Leonardo Combes, Ediciones Magna, Tucumán, 2003.

La imagen de la portada Hilbert 3D pertenece a Markus Lipp,Peter Wonka,Michael Wimmer http://www.cg.tuwien.ac.at/research/publications/2009/LIPP-2009-PGL/

El texto pertenece al libro Contribuciones a los sistemas de diseño, 20 años del Laboratorio de Sistemas de Diseño, Editor: Leonardo Combes, Ediciones Magna, Tucumán, 2003.
  • La primera parte de este artículo fue publicada aquí
  • La segunda parte de este artículo fue publicada aquí
  • La tercera parte de este artículo fue publicada aquí
  • La cuarta parte del este artículo fue publicada aquí

 

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Esta entrada fue publicada el septiembre 3, 2013 a las 12:21 am. Se guardó como Escrito y etiquetado como , , . Añadir a marcadores el enlace permanente. Sigue todos los comentarios aquí gracias a la fuente RSS para esta entrada.

4 pensamientos en “Clasificación en tipos fractales [2da parte]

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  4. Genial! Le daría un «me gusta», pero no tengo facebook…

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